Geometrické Ramseyovo číslo

$R_g(P_n,C_3) = 2n+1$

Dolní mez - Mějme dvě červené kliky s N vrcholy s úplným bipartitním grafem mezi.

Horní mez - Seřaďme body a nechme aby červené hrany definovaly poset. Potom nejvyšší počet vrcholů kde není antichain velikosti 3 (modrý trojúhelník) či chain s N+1 vrcholy (cesta na N hranách) je 2N. Pokud přidáme jeden vrchol, tak dostaneme jednu z těchto struktur.

$2n+1 \le R_g(C_n,C_3) \le 3n+O(1)$

Dolní mez - platí z cestového výsledku.

Horní mez - pokud vezmeme bod na konvexní obálce a ostatní seřadíme dle úhlu od něj. Pokud je N+1 vrcholů spojeno modře, tak máme buď C3 nebo kliku N+1, kde je cesta délky N. Pokud je spojeno 2N vrcholů červeně uplatníme lemma stejně jako u cest a máme buď kliku nebo cestu N-1, která se spojí s vybraným vrcholem.